Lista de exercícios do ensino médio para impressão
Calcular a distância entre os pontos A ( 1 ; 3 ) e B ( -1 ; 4 ) .

 



resposta:
×
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
a)
$3x + 4y = 11$
b)
$4x + \dfrac{7}{2}y = 11$
c)
$x + 3y = 7$
d)
$3x + 2y = 7$
e)
$x + 2y = 5$

 



resposta: Alternativa A
×
Provar que o triângulo cujos vértices são $A(2,2)$, $B(-4,-6)$, e $C(4,-12)$ é um triângulo retângulo.

 



resposta: Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
×
Determinar $x$ de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados : $A(4,5)$, $B(1,1)$ e $C(x,4)$.

 



resposta:
×
(CESCEM - 1976) O ponto $(a, -b)$ pertence ao interior do 2º quadrante. Os pontos $(-a,b)$ e $(-a,-b)$ pertencem, respectivamente, aos quadrantes:
a) 3º e 1º
b) 3º e 4º
c) 4º e 3º
d) 4º e 1º
e) 1º e 3º

 



resposta: Alternativa D
×
(FFCLUSP - 1966) A distância do ponto $\;(-2,3)\;$ ao eixo das ordenadas é:
a)
$-2$
b)
$2$
c)
$1$
d)
$5$
e)
$\sqrt{13}$

 



resposta: Alternativa B
×
(CESCEA - 1974) O ponto do eixo $x$ equidistante de $\,(0, -1)\;$ e $\;(4,3)\,$ é:
a)
$(-1,0)$
b)
$(1,0)$
c)
$(2,0)$
d)
$(3,0)$
e)
não sei

 



resposta: Alternativa D
×
(PUC - 1970) Sendo $\;A(3,1)\,$, $\;B(4, -4)\;$ e $\;C(-2,2)\,$ vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a)
triângulo retângulo e não isósceles
b)
triângulo retângulo e isósceles
c)
triângulo equilátero
d)
triângulo isósceles não retângulo
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: Alternativa D
×
Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5) .
plano cartesiano quadriculado

 



resposta: resposta plano cartesiano com pontos
×
(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices $\;P(1,1)\,$, $\;Q(3,-4)\,$ e $\;R(-5,2)\,$ de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice $\;Q\;$ é:
a)
$12$
b)
$10$
c)
$15$
d)
$\dfrac{\sqrt{221}}{2}$
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: Alternativa D
×
(CESCEA - 1968) Dado o segmento $\;\overline{AB}\;$ de extremidades $\;A \equiv (-4,1)\;$ e $\;B \equiv (5,7)\;$ as coordenadas do ponto $\;C\;$ que divide na razão $\;\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = 4\;$ são:
a)
$\;(-\dfrac{11}{5},\dfrac{12}{5})\;$
b)
$\;(\dfrac{16}{5},\dfrac{29}{5})\;$
c)
$\;(1,8)\;$
d)
$\;(\dfrac{1}{2},4)\;$
e)
$\;(9,6)\;$

 



resposta: Alternativa B
×
(EPUSP - 1966) Seja C o ponto de encontro das medianas do triângulo OAB de ângulo reto A . Sendo O = (0 , 0) e A = (3 , 0) , a abscissa de C :
a)
é inferior a 1
b)
é 1
c)
é 1,5
d)
só pode ser conhecida se for dada a ordenada de B
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: alternativa E
×
(CESCEA - 1972) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades $\;A\,\equiv\,(1,1)\;$ e $\;C\,\equiv\,(3,3)\;$. As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são:
a)
(2,3) e (3,2)
b)
(3,1) e (1,3)
c)
(3,0) e (1,4)
d)
(5,2) e (4,1)
e)
não sei

 



resposta: Alternativa B
×
(MACKENZIE - 1976) Se os pontos $\;(2\,,\,-3)\;$, $(4\,,\,3)\;$ e $\;(5\,,\, \dfrac{k}{2})\;$ estão numa mesma reta, então $\;k\;$ é igual a:
a)
-12
b)
-6
c)
6
d)
12
e)
18

 



resposta: Alternativa D
×
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação $\;Ax + By + C = 0\,$, assinale dentre as afirmações abaixo a correta:

a) se $A \ne 0$ e $B \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem
b) se $B \ne 0$ e $C=0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos
c) Se $A = 0$ e $C \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $0x$
d) se $A \ne 0$, $B = 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$
e) se $A = 0$, $B \ne 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$


 



resposta: alternativa D
×
(EPUSP - 1967) O ponto $P(3,m)$ é interno a um dos lados do triângulo $A(1,2)$, $B(3,1)$ e $C(5,-4)$. Então:
a)
m = -1
b)
m = 0
c)
m = $\dfrac{1}{2}$
d)
m = 1
e)  nenhuma das respostas anteriores


 



resposta: Alternativa A
×
(FEI - 1967) Para cada número real $\;m\;$, considere-se a reta $\;r(m)\;$ de equação $\;mx + y - 2 = 0\;$.
a)
existem $\;m_1\;$ e $\;m_2\;$, com $\;m_1 \ne m_2\;$, tais que $\;r(m_1)\;$ e $\;r(m_2)\;$ são paralelas
b)
existe um valor de $\;m\;$ para o qual a reta $\;r(m)\;$ é paralela ao eixo dos $\;y\;$
c)
qualquer que seja $\;m\;$, a reta $\;r(m)\;$ passa pelo ponto $\;(2,-1)\;$
d)
qualquer que seja $\;m\;$, a reta $\;r(m)\;$ passa pelo ponto $\;(0,2)\;$
e)
nenhuma das afirmações é verdadeira

 



resposta: alternativa D
×
(CESCEA - 1973) A reta que passa pelo ponto $P = (2,3)$ e pelo ponto $Q$, simétrico de $P$ em relação à origem, é:
a)
$2y = 3x$
b)
$y = 3x - 3$
d)
$y = 4x - 1$
c)
$y = 2x - 1$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: Alternativa A
×
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
a)
$3x + 4y = 11$
b)
$4x + \dfrac{7}{2}y = 11$
d)
$3x + 2y = 7$
c)
$x + 3y = 7$
e)
$x + 2y = 5$

 



resposta: alternativa A
×
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.

 



resposta:
Resolução:
Para um ponto $\;P(x;y)\;$, vamos chamar de $\;P_x\;$ e $\;P_y\;$ as projeções do ponto $\,P\,$ respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
plano cartesiano mostrando ponto Pe xis ípsilon
Resposta:
$\,A(2\,;\,3)\;\;\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} A_x\;(2\,;\,0) \phantom{X}& \\ A_y\;(0\,;\,3)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$
$\,B(3\,;\,-1)\;\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} B_x\;(3\,;\,0) \phantom{XX}& \\ B_y\;(0\,;\,-1)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$
$\,C(-5\,;\,1)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} C_x\;(-5\,;\,0) \phantom{X}& \\ C_y\;(0\,;\,1)\phantom{XX}& \\ \end{array} \right.$
$\,D(-3\,;\,-2)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} D_x\;(-3\,;\,0) \phantom{X}& \\ D_y\;(0\,;\,-2)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$
$\,E(-5\,;\,-1)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} E_x\;(-5\,;\,0) \phantom{X}& \\ E_y\;(0\,;\,-1)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$

×
Dar as coordenadas dos pontos simétricos aos pontos A(-1 , 2) ; B(3 , -1) ; C(-2 , -2) ; D(-2 , 5) ; E(3 , -5) em relação ao eixo das ordenadas.

 



resposta:
Resolução:
Para um ponto $\;P(x\, ,\,y)\;$ existe o ponto $\;P_1\;$, simétrico a $\;P\;$ em relação ao eixo das ordenadas, conforme a figura:
plano cartesiano indicando simétrico de P em relação ao eixo das ordenadas
Observando a figura acima, podemos concluir:

$\,\boxed{\;P(x\, , \,y)\;\Rightarrow \;P_1(-x\, , \,y) \,}$

Resposta:
$\,A(-1\,,\,2)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,A_1(1\,,\,2)\,$
$\,B(3\,,\,-1)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,B_1(-3\,,\,-1)\,$
$\,C(-2\,,\,-2)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,C_1(2\,,\,-2)\,$
$\,D(-2\,,\,5)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,D_1(2\,,\,5)\,$
$\,E(3\,,\,-5)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,E_1(-3\,,\,-5)\,$

×
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a)
$\,xy \, >\, 0\,$
b)
$\,xy \, < \, 0\,$
c)
$\,x\,-\,y\,=\,0\,$
d)
$\,x\,+\,y\,=\,0\,$


 



resposta: Resolução:
a)
se $\,xy \, > \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades:
1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE
2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b)
se $\,xy \, < \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades:
1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE
2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c)
se x - y = 0 x = y ⇒ $ \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,1º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,3º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$
d)
se $\,x\,+\,y \, = \, 0\; \Rightarrow \; $ $\;x\,=\,-y \;\Rightarrow\; \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,2º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,4º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$

×
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A (3 ; 4), B (-1 ; 2), C (-3 ; -4), D (4 ; -2), E (3 ; 0), F (0 ; -3) e G (0 ; 0).

 



resposta:
representação de pontos no sistema cartesiano

×
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no $\;1^{\underline{o}}\,$ QUADRANTE. O vértice C é dado por:
a)
$\,\left({\large \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}} \right) \,$
b)
$\,\left({\large \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \,$
c)
$\,\left({\large \frac{1}{2}; \frac{1}{2}} \right) \,$
d)
$\,\left({\large \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \,$
e)
nenhuma das alternativas
anteriores


 



resposta: alternativa B
×
Para um sistema de coordenadas ortogonais, estão certas as seguintes afirmações:
( 1 )
Pontos com abscissa nula estão no eixo 0x
( 2 )
A distância do ponto (-3 ; 5) ao eixo Oy é 3.
( 3 )
A distância entre os pontos A (-2 ; 4) e B (8 ; 4) vale 10.
( 4 )
A distância entre os pontos A (1 ; 5) e B (-3 ; 2) vale 5.
( 5 )
Os pontos da bissetriz dos quadrantes pares têm abscissa e ordenada iguais.


 



resposta:
Estão corretas 2, 3 e 4

×
Dadas as coordenadas dos pontos:
A (4 ; 3)
D (2 ; -3)
G (-6 ; -4)
B (5 ; 0)
E (-4 ; 2)
C (0 ; 4)
F (0 ; 0)
Achar as distâncias entre os pontos em cada um dos seguintes pares:
A e B
B e E
C e G
A e C
B e F
D e E
A e D
C e D
E e F

 



resposta:
$\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10}\;$
$\;\overline{BE}\,=\,\sqrt{85}\;$
$\;\overline{CG}\,=\,10\;$
$\;\overline{AC}\,=\,\sqrt{17}\;$
$\;\overline{BF}\,=\,5\;$
$\;\overline{DE}\,=\,\sqrt{61}\;$
$\;\overline{AD}\,=\,2\sqrt{10}\;$
$\;\overline{CD}\,=\,\sqrt{53}\;$
$\;\overline{EF}\,=\,2\sqrt{5}\;$

×
(MACKENZIE) Considere a figura abaixo. O comprimento do segmento $\phantom{X}\overline{MN} \phantom{X}$ é:
a)
$\,\sqrt{2\;}\,-\,{\dfrac{\;1\;}{2}}\,$
b)
$\,\sqrt{2\;}\,+\,{\dfrac{\;1\;}{\sqrt{2\;}}}\,$
c)
$\,\sqrt{2\;}\,+\,1\phantom{\dfrac{X}{X}}\,$
d)
$\,1\,-\,{\dfrac{\;\sqrt{\;2\;}\;}{2}}\,$
e)
$\,\sqrt{2\;}\,-\,1\,$
plano cartesiano com circunferência similar ao ciclo trigonométrico

 



resposta: (E)
×
(USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A ( 1 ; 1 ) e C ( 3 ; 3 ) . As coordenadas dos outros dois vértices são:
a)
( 2 ; 3 ) e ( 3 ; 2 )
b)
( 3 ; 1 ) e ( 1 ; 3 )
c)
( 3 ; 0 ) e ( 1 ; 4 )
d)
( 5 ; 2 ) e ( 4 ; 1 )
e)
nenhuma das anteriores


 



resposta: alternativa B
×
Seja P ( x ; y ) o ponto simétrico do ponto A ( 1 ; 1 ) em relação à reta que passa pelos pontos B ( 4 ; 1 ) e C ( 1 ; 4 ) . Então x + y é igual a:
a)
4
b)
8
c)
6
d)
10
e)
12


 



resposta: alternativa B
×
(CESCEM) Determinar o ponto D no paralelogramo abaixo:
a)
( 1 ; -1 )
b)
( 2 ; -2 )
c)
( 2 ; -4 )
d)
( 3 ; -2 )
e)
( 3 ; -4 )
paralelogramo no plano cartesiano

 



resposta: (E)
×
(MACKENZIE) O ponto ( 3 ; m ) é interno a um dos lados do triângulo A ( 1 ; 2 ), B ( 3 ; 1 ) e C ( 5 ; -4 ) . Então:
a)
m = -1
b)
m = 0
c)
m = - 1/2
d)
m = -2
e)
m = -3

 



resposta: alternativa A
×
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
plano cartesiano com retas r e s

 



resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

×
Representar no plano cartesiano os pontos A(4; 3) , B(-2; 5) , C(-4; -2) , D(3; -4) , E(2; 0) , F(0; -3) , G$(\frac{3}{2};\;\frac{5}{2})\;$ e H($-\frac{1}{2}$; -4).
plano cartesiano x0y

 



resposta:
plano cartesiano x0y com pontos marcados

×
Responder em qual quadrante do plano cartesiano estão localizados os pontos.
a)
$\,(\sqrt{2}\,;\;-\sqrt{3})\,$
b)
$\,(-\frac{1}{2}\,;\;\frac{\sqrt{2}}{2})\,$
c)
$\,(2\,-\,\sqrt{2}\,;\;1\,-\,\sqrt{2})\,$

 



resposta: a)4º b)2º c)4º
×
Entre os pontos A(0; 7), B(3; 3), C(-2; 0), D(-1; 1), E(${\small \sqrt{\,3\;}}$; 0), F(-4; 4), G(0; ${\small -\sqrt{\,2\;}}$), H($\frac{\,1\,}{2}$; $-\frac{\,1\,}{2}$) e I(0; 0):
a)
quais estão no eixo Ox?
b)
quais estão no eixo Oy?
c)
quais estão na bissetriz dos quadrantes ímpares?
d)
quais estão na bissetriz dos quadrantes pares?

 



resposta: a)CEI b)AGI c)BDI d)FHI
×
Veja exercÍcio sobre:
geometria analítica
coordenadas cartesianas
distância entre dois pontos